证明不等式(2/3)^n<4/n(n+1)对任何自然数n成立

(2/3)^n<4/n(n+1)
用归纳法证明当n=1时,2/3<4/2,不等式成立,当n=2时,4/9<4/6,不等式也成立,
对任意大于等于2的n不等式成立,考虑n+1时的情况,由归纳法假设得
(2/3)^(n+1)=(2/3)(2/3)^n<(2/3)*4/n(n+1)=8/(3n(n+1))
由n≥2得2n+2≤3n,2/(3n)≤1/(n+2),8/(3n(n+1))≤4/((n+1)(n+2))
故得(2/3)^(n+1)<4/((n+1)(n+2)),完成了归纳法证明.

把n=1，2，3，4，5代入，都成立

若n=k是成立，k>=5
即(2/3)^k<4/k(k+1)
则n=k+1时
(2/3)^(k+1)=(2/3)*(2/3)^k<(2/3)*4/k(k+1)

(2/3)*4/k(k+1)-4/(k+1)(k+2)
=[8(k+2)-12k]/3k(k+1)(k+2)
=(-4k+16)/3k(k+1)(k+2)
因为k>=5,所以分子小于0，分母大于0
所以(2/3)*4/k(k+1)<4/(k+1)(k+2)
即(2/3)^(k+1)<4/(k+1)(k+2)
所以n=k+1也成立

综上
(2/3)^n<4/n(n+1)对任何自然数n成立